Дифференцируемость функции комплексной переменной Правила интегрирования


Операционное исчисление

Вычисление интегралов.

Вычислить интеграл где С – окружность | z|= r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2 . Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.

Вычислить интеграл где n- целое и С – окружность | z|= r, проходимая в положительном направлении. Основные правила дифференцирования Математика примеры решения задач

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Лорана.

. Равенство k- n=1 Будет выполнено при n ³ -1. Для этих значений параметра . Для остальных значений параметра n интеграл I=0.

 

Для вычисления интегралов вида используют следующие два вспомогательных утверждения

Лемма. Если f(z) аналитична в {Im z >= 0 } кроме конечного числа о.т. ak Î{Im z > 0} и , то

.

Здесь CR={ Im z ³ 0, | z|= R}.

Обобщённая лемма. Если f(z) аналитична в {Im z >= 0 } кроме конечного числа о.т. ak Î{Im z > 0}, на вещественной оси имеются только полюсы первого порядка bk и , то

Лемма Жордана. Если f(z) непрерывна в { |z| ³R0, Im z ³ -a, a>0 } и   Тогда  для любого l>0.

Следствие. Если для функции f( z) выполнены условия леммы, то, где сумма берется по всем вычетам подынтегральной функции из верхней полуплоскости.

теорема об аналитическом продолжении вдоль гомотопных путей; теорема о монодромии; общее понятие Римановой поверхности; пространство канонических элементов как Риманова поверхность; полная аналитическая функция и ее ветви; изолированные особые точки полных аналитических функций.
Вычислить интеграл